I sistemi lineari

Esempio, nucleao di un'A.L.

$$ f(x, y, z) = (z+y, x-z) \\ \operatorname{ker} f = \begin{cases} z + y = 0 \\ x - z = 0 \end{cases} $$

Le due equazioni formanon un sistema linare.
Questo insieme di equazioni possono essere arbitrariamente complesse.
Sistemi più complessi (più equazioni e più incognite) non sono facilmente risolvibili.

Alcuni sistemi sono più facilmente risolbili di altri.
$$ \begin{cases} 1x + 1y + 2z = 1 \\ 0x + 2y - 1z = 0 \\ 0x + 4y + 0z = 7 \end{cases} $$ Questo sistema è facilmente risolvibile perchè ho molti coefficenti nulli.
Posso notare come la matrice relativa a questo sistema è una matrice ridotta.

Rappresentazione dei sistemi lineari

I S.L. possono essere rappresentati da una sequenza di $m$ equazioni di cui la prima è di $n$ icognite $$ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_a + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_n \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_n $$ Posso facilmente notare come posso rappresentare questo sistema tramite due matrici.

  1. La matrice $A, R^{mn}$ formata dai coefficenti $a_{mn}$.
  2. La matrice $B, R^{m1}$ formata dai termini noti.

Quindi posso rappresentare interamente con la matrice completa (A|B) $$ (A|B) = \left[ \begin{array}{ccc|c} a_{11} & \dots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & \dots & a_{2n} & b_2 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} & b_m \end{array} \right] $$ Posso vedere che definendo una matrice colonna con le mie icognite $$ X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \dots \\ x_m \end{bmatrix} $$ la dicitura $AX=B$ mi crea esattamente il mio sistema di equazioni.
Quindi analizzare S.L. equivale a studiare delle matrice.

Sistema lineare ridotto

Un sistema è ridotto (quindi facilmente risolvibile) se la matrice $A$ dei coefficenti è ridotta per righe.

Esempio

$$ \begin{cases} 2x - 1y + 1z = 1 \\ 0x + 4y - 3z = 0 \\ 0x + 5y + 0z = 10 \end{cases} \\ A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 5 & 0 \end{bmatrix} \\ B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 10 \end{bmatrix} $$

Tecnica di soluzione

La matrice A è ridotta per righe, quindi questo è un sistema ridotto.
Si parte dall'ultima equazione (che contiene più zeri e quindi il numero minimo di incognite) e si risale un'equazione alla volta.
$$ \begin{align} 5y = 10 & \rightarrow y = 2 \\ 4y - 3z = 0 & \rightarrow z = 8/3 \\ 2x - 2 + 8/3 = 1 & \rightarrow x = \frac{1 + 2 - 8/3}{2} \end{align} $$

S.L. con infinite soluzioni

Se il numero di equazioni (righe) è minore del numero di incognite, nel cercare la soluzione mi rimarrano delle icognite. $$ \left[ \begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 4 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right] $$ Partendo dall'ultima riga ottengo $$ 2z + t = 0 $$ e scelgo di risolvere per $t$ per evitare una divisione $$ t = -2z $$ Ora salgo di una riga $$ 2y - z + y = 1 2y - 3z = 1 $$ Ora guardando la matrice mi accorgo che y, per la riga che sto analizzando, è l'elemento speciale, quello che sotto di se ha solo zeri.
Devo risolvere questa equazione per y
$$ y = \frac{3z +1}{2} $$ Quindi vado ad analizzare la prima riga $$ 2x + y + 4z + t = 1 \\ 2x + \frac{3z +1}{2} + 4z - 2z = 1 $$ Questo ci permette di avere tutte le mie incognite dipendenti solo da $z$ $$ \begin{align} x & = \frac{1 - 2x - \frac{3z +1}{2}}{2} \\ y & = \frac{3z +1}{2} \\ t & = -2z \end{align} $$ Quindi $z$ posso sceglierla a mio piacere.
Quindi $z$ viene detta incognita libera quindi questo sistema ha infinite soluzioni.
La regola da ricordare è quando devo scegliere per quale incognita risolvere una riga devo scegliere quella abbinata al coefficente speciale.

Sistema ridotto privo di soluzioni

Se nel ridurre la matrice di un sistma trovo una riga con tutti coefficenti nulli ma con termine noto non nullo allora il sistema è irrisolvibile (detto anche incompatibile)

Analisi di un sistema generico AX=B

Devo eseguire i seguenti passaggi

  1. Identificare se il sistema è risolubile
  2. Trovare le soluzioni del sistema

Se il sistema è ridotto per righe si può lavorare direttamente sulla matrice per analizzare il sistema.
Se il sistema non è ridotto allora dobbiamo trasformarlo in un sistema equivalente (con le stesse soluzioni) ma ridotto per righe.


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